Как получить справку о рождении ребенка без документов родильницы?

Здравствуйте, а Вам выдали медицинское свидетельство о рождении? В любом случае, чтобы в органе ЗАГС выдали нужны документы, которые Вам в роддоме дадут. (Вы пробовали уже с временным обращаться?)

Нужно устанавливать факт рождения ребенка конкретной женщиной.

Нет, его выдают на основании медицинской справки о рождении, а она в свою очередь выдаётся именно конкретной женщине, а учитывая, что не было никаких идентифицирующих документов у родильнице, ей нечего не дали.