Если по суду не определялось место жительства детей, то автоматом они определены проживать с вами. Но в данном случае лучше иметь свидетелей проживания детей с вами.
Здравствуйте, вы можете доказать фактическое проживание ребёнка с вами.
Да, можете подать на алименты.
Если, вы живете в собственной квартире, то можно зарегистрировать детей временно.
Если на съемной, то в суде предъявите договор найма жилого помещения.