Может ли учредитель и директор ООО устроиться в ГБУ документоведом, и какой закон это регулирует?

Если примут на такую работу - да, указанные обстоятельства не являются законным основанием для отказа в приеме на такую работу.

Можете.

Сотрудник ГБУ не является гражданским служащим, ограничения на вас не распространяются. Если это не режимный объект, конечно.