Можно ли избежать повторной службы в Российской армии при переезде из Армении?

Да, если годен по состоянию здоровью (по российским критериям), и не имеет оснований для отсрочки, предусмотренных ст.24 ФЗ "О воинской обязанности и военной службе". Согласно пп "г", п.1 ст.23 указанного закона, от призыва на военную службу освобождаются граждане:

прошедшие военную службу в другом государстве в случаях, предусмотренных международными договорами Российской Федерации;

Нет, у Армении и России нет такого договора.

В соответствии со Ст.1 “Закона Республики Армения о внесении дополнений в Закон Республики Армения о воинской обязанности”:

1. Гражданин другого государства, принявший гражданство Республики Армения, освобождается от обязательной военной службы, если он до принятия гражданства Республики Армения прослужил в вооруженных силах другого государства не менее 12 месяцев, либо прошел альтернативную военную службу в другом государстве не менее 18 месяцев, за исключением государств, установленных Правительством Республики Армения.

2. Гражданин Республики Армения, принявший гражданство другого государства, не освобождается от обязательной военной службы, независимо от того, служил он или не служил в другом государстве.