Алёна, факт совместного проживания подтверждается в первую очередь регистрацией по одному адресу.
А вы где зарегистрированы на данный момент? Если не получится взять данную справку, подавайте заявление без неё.
Я с детьми проживаю на съемной квартире, есть договор аренды со мной, как быть в этом случае, дети прописаны у отца.
Тогда это будут свидетельские показания, фотографии, выписки из учреждений где может фигурировать фактический адрес (например в садике или школе указан фактический адрес проживания детей - в арендованной квартире)