Для ведения видеосъёмки в ходе судебного заседания необходимо разрешение суда. Аудиозапись можно вести без подобного разрешения.
Можно в открытых судебных заседаниях с разрешения председательствующего судьи. Суды в последнее время сами делают аудио-или видеозаписи, диск с которыми хранится в деле. Их можно скопировать, посмотреть или прослушать сторонам - по их ходатайству.