Я взял автомобиль в аренду под выкуп. Подскажите кто должен оформлять полис ОСАГО, если он ещё не в моей собственности?

В данном случае все зависит от того, какие условия Вы с арендодателем включили по этому поводу в договор.

Если в договоре ничего не указано, то в соответствии со ст.646 ГК РФ, арендатор несет расходы на содержание арендованного транспортного средства, его страхование, включая страхование своей ответственности, а также расходы, возникающие в связи с его эксплуатацией.

Здравствуйте. Всё условия должны быть отражены в договоре.