Вопрос - Нужно ли делать временную регистрацию на период до покупки новой квартиры при продаже и выписке из старой?

Нет, не нужно, если только банк не потребует иного.

Пропишетесь в новую квартиру.

Закон РФ от 25.06.1993 N 5242-1 (ред. от 01.04.2019) "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации"

""Статья 6. Регистрация гражданина Российской Федерации по месту жительства

""Гражданин Российской Федерации (за исключением случая, предусмотренного статьей 6.1 настоящего Закона), изменивший место жительства, обязан не позднее семи дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к лицу, ответственному за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, а в случаях, предусмотренных настоящим Законом и правилами регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, непосредственно в орган регистрационного учета с заявлением по установленной форме.

К тому же не все банки выдают кредит гражданам без регистрации по месту жительства.