Здравствуйте! Вы можете обратиться в ССП которая будет исполнять решение суда, с ходатайством о приостановлении исполнительных действий, в связи с подачей кассационной жалобы в порядке надзора и приложить копию жалобы с отметкой канцелярии суда о принятии жалобы.
А так никто не будет приостанавливать.
Судья кассационного суда общей юрисдикции в случае принятия кассационных жалобы, представления к производству суда вправе приостановить исполнение судебных актов, принятых судами первой и апелляционной инстанций, при наличии просьбы об этом в кассационных жалобе, представлении или в отдельном ходатайстве.
Ходатайство о приостановлении исполнения судебных актов, подписанное усиленной квалифицированной электронной подписью в порядке, установленном законодательством Российской Федерации, может быть подано в суд посредством заполнения формы, размещенной на официальном сайте суда в информационно-телекоммуникационной сети "Интернет" (Статья 379.3 Гражданского процессуального кодекса РФ).
Таким образом, Вам необходимо указать в просительной части кассационной жалобы просьбу о приостановлении исполнения решения суда и апелляционного определения.