Могут ли третьи лица запросить на меня характеристику у председателя ТСЖ или соседей?

Если это "абсолютно посторонний человек", то не может, т.к. сбор таких сведений является обработкой Ваших персональных данных и на это требуется Ваше согласие.

За незаконную обработку персональных данных предусмотрена административная ответственность (ст.13.11 КоАП РФ)