Восточный банк требует оплатить страховку и проценты за неиспользованную карту - правомерно ли это?

Нет. это совершенно незаконно.

Татьяна, данное требование незаконно, поскольку до тех пор пока вы не активировал карту, вы договор не заключили.

Необходимо смотреть условия предоставления кредитной карты. Попросите предоставить письменные основания для оплаты страховки или ссылку на нормативный акт.