Как правильно переписать ребёнка из квартиры матери на жилье, где зарегистрирован отец ребёнка?

Только через суд и органами опеки.

Жил, ли не жил в спорном жилом помещении ребенок? Я так поняла собственником квартиры является др. лицо. Как была приобретена квартира? Мать, или ребенок отказывались от приватизации?

Можно выписать, если собственник иное лицо и мать и/ли ребенок не отказывались от приватизации.

Подать иск о признании не приобретшей, или утратившей право собственности (в зависимости от ситуации).