Возможность завещания квартиры с условием проживания и оплаты коммунальных услуг сыном

Да, может. В соответствии со ст. 1139 ГК РФ Завещательное возложение.

Только вот будет ли сын оплачивать КУ?

Светлана! Да это возможно. Это называется "завещательный отказ". Завещатель вправе обязать наследника квартиры предоставить другому лицу на период жизни этого лица или на иной срок право пользования наследуемой квартирой либо ее определенной частью.

Завещательный отказ может быть установлен в завещании или наследственном договоре (п. 1 ст. 1118, п. п. 1, 2 ст. 1137, п. 1 ст. 1140.1 ГК РФ).

При дальнейшем переходе права собственности на квартиру, входившую в состав наследства, к другому лицу право пользования жилым помещением, предоставленное по завещательному отказу, сохраняет силу (п. 2 ст. 1137 ГК РФ; ч. 1 ст. 33 ЖК РФ).

Право на получение завещательного отказа действует в течение трех лет со дня открытия наследства и не переходит к другим лицам.

Гражданин, проживающий в квартире, предоставленной по завещательному отказу, вправе потребовать государственной регистрации права пользования жилым помещением, возникающего из завещательного отказа (ч. 3 ст. 33 ЖК РФ).