У председателя ТСЖ истекает срок полномочий, надо ли его увольнять, если его переизбрали на новый срок?

Нет, увольнять не надо. Полномочия продлеваются без прекращения.

В данном случае исходя из ст 79 ТК РФ увольнять необязательно Просто составляете дополнительное соглашение к трудовому договору ст 72 ТК РФ,в котором указываете новый срок.