Может ли он что нибудь сделать что мне же еще придется доказвать что я мать, так как у нас разные фамилии?

Уважаемая, Екатерина! В свидетельстве о рождении ребенка прописаны оба родителя , следовательно, Вы там числитесь как мать (стоит же ваша фамилия). Не переживайте, забрать сына он не сможет - для этого нужны слишком веские основания. Он должен будет лишить Вас родительских прав только в судебном порядке, а это сложная процедура,поверьте! Если Вы живете в квартире, находящейся в вашей собственности, смело выгоняйте его, не бойтесь. Удачи. Будут вопросы, обращайтесь. С уважением.

Место жительства детей при раздельном проживании родителей устанавливается соглашением родителей. При отсутствии соглашения спор между родителями разрешается судом исходя из интересов детей и с учетом мнения детей. При этом суд учитывает привязанность ребенка к каждому из родителей, братьям и сестрам, возраст ребенка, нравственные и иные личные качества родителей, отношения, существующие между каждым из родителей и ребенком, возможность создания ребенку условий для воспитания и развития (род деятельности, режим работы родителей, материальное и семейное положение родителей и другое). (ст. 65 СК РФ)

Вам необходимо главным образом исковое заявление грамотно составить, возможно собрать доказательства. Надо ходить на судебные заседания и отстаивать свою позицию перед судом. Лучше всего вести процесс с помощью специалиста.