Я просрочил свой паспорт на 1 месяц, они требуют подписать протокол о нарушении. Можно ли этого избежать?

Нет, потому что вы совершили административное правонарушение, предусмотренное ст. 19.15 КоАП РФ. Нужно будет оплатить штраф.