Уважаемая Яна!
Обычно оформляет юрист при наличии паспорта и страхового пенсионного свидетельства (для соответствующих налоговых отчислений), но если нет юриста - возможно и кадровик, однако гражданско-правовой договор не влечет за собой трудовых отношений между работником и работодателем.
Уважаемая Яна!
На Ваш дополнительный вопрос отвечаю, что обычно договорно-правовая работа в организации возложена на юриста (юрисконсульта), указанные договоры хранятся и регистрируются отдельно от трудовых договоров в соответствии с номенклатурой дел организации, если Вы хотите убедить юриста в том, что составление гражданско-правовых договоров является его обязанностью, то можно предложить ознакомиться с должностной инструкцией, которая есть в каждой организации.