Почему мировой судья игнорирует письма-опротестование по вынесенному решению и вправе ли он это делать?

Потому что законом такие письма не предусмотрены. В случае если вы не сосгласны с вынесенным решением суда, вы в праве подать апелляционную жалобу, но никак не письма-опротестования.