Нужно представить приставу справку о целевом назначение денег, тогда арест с вашего банковского счёт а должен быть обязательно снят.
К сожалению приставы могут все. Но они не имеют право взыскивать по долгам более 50 %. Полное блокирование карты это уже нарушение законодательства. Поэтому если такое произойдет сразу пишите жалобу в прокуратуру или обжалуйте действия пристава.
Ответ на ваш вопрос да, могут, это в их компетенции, в этом случае вам нужно будет обжаловать действия должностных лиц в судебном порядке.