Возможно ли отсудить часть квартиры после совместной жизни внебрачной пары?

Не можете.

Сожительство не создаёт для лиц прав и обязанностей, какие возникают при зарегистрированном браке.

Если есть какие-то платёжные документы от вашего имени, то есть шанс получить денежную компенсацию.

Добрый день! Для начала Вам нужно будет доказать в суде факт нахождения в брачных отношениях с супругой, так как брак не зарегистрирован. Доказательствами могут быть документы, подтверждающие совместные расходы, показания свидетелей и т.п. После вынесения решения суда о признании Вашего брака, Вы можете претендовать на долю в совместно нажитым имуществе супругов.