Как решить ситуацию, когда покупатель не переоформляет машину и не оплачивает транспортный налог после покупки по устной договоренности?

Достаточно опрометчиво вы поступили. Если вы продали машину без договора купли продажи и новый "владелец" не зарегистрировал ее на себя, то собственником ТС являетесь вы, и обязаны платить, не только налоги но и штрафы за нарушение пдд именно ВЫ.

Что делать? Снять машину с учета в связи с утилизацией. Устный договор не является основанием для не уплаты вами транспортного налога.