Как доказать что я наследник дома матери если я на момент её смерти не был прописан в этом ее доме который хочу унаследовать?

Прописка не имеет значения. Имеет значение то, что Вы - её сын, т.е. наследник по закону. Обращайтесь к нотариусу с заявлением о принятии наследства в течение 6 месяцев после смерти матери, и если нет других наследников, получите дом.

Вы являетесь наследником первой очереди по закону, прописка в данном случае роли не играет. Обратитесь к нотариусу по месту открытия наследства с заявлением о принятии наследства с паспортом и свидетельством о смерти матери.