Возможно ли сделать въезд-выезд в Беларусь для обновления иммиграционной карты при истекающем сроке патента в РФ?

Нет, это чревато последствиями в виде запрета на въезд за превышение сроков пребывания. Нужно уезжать из РФ на 90 дней. Выезд-въезд не помогает, тем более, что Беларусь и РФ пользуются одной базой данных.