Ответ зависит от нескольких обстоятельств:
1. Сколько лет Вашему сыну
2. Вписан ли в свидетельство о рождении отец ребенка
Согласно стать 58 Федерального закона от 15.11.1997 N 143-ФЗ (ред. от 30.03.2016) "Об актах гражданского состояния"
Лицо, достигшее возраста четырнадцати лет, вправе переменить свое имя, включающее в себя фамилию, собственно имя и (или) отчество обратившись с заявлением в ЗАГС по месту жительства. САМИ СМЕНИТЬ ОТЧЕСТВО ВЫ В ЭТОМ СЛУЧАЕ НЕ СМОЖЕТЕ.
Перемена имени (в Вашем случае отчества) лицом, не достигшим совершеннолетия, производится при наличии согласия обоих родителей (если в свидетельство о рождении указана только мать, то только ее согласие) и на основании решения органа опеки и попечительства в порядке, установленном статьей 59 Семейного кодекса Российской Федерации. ЕСЛИ СЫНУ МЕНЕЕ 14 ЛЕТ И В СВИДЕТЕЛЬСТВЕ О РОЖДЕНИИ УКАЗАНЫ ТОЛЬКО ВЫ СМЕНИТЬ ОТЧЕСТВО МОЖНО