Теоретически возможно. Практически в современных условиях довольно сложно. Необходимо найти воинскую часть, командир которой согласен на ваш перевод. Возьмите отношение. Напишите рапорт на перевод в своей части. Далее комментировать сложно.

Положение

о порядке прохождения военной службы

(утв. Указом Президента РФ от 16 сентября 1999 г. N 1237)

Статья 15. Порядок перевода к новому месту военной службы

1. Военнослужащий может быть переведен к новому месту военной службы из одной воинской части в другую (в том числе находящуюся в другой местности) в пределах Вооруженных Сил Российской Федерации (других войск, воинских формирований или органов, воинских подразделений федеральной противопожарной службы) в следующих случаях:

д) по личной просьбе (для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту);

Чтобы понимать: контракт Вы заключаете с Минобороны и не важно где (часть, военкомат, пункт отбора). Представителем Минобороны (военком, командир, начальник пункта отбора) подписывается от Министерства обороны. Если Вы хотите перевестись в другую часть то необходимо в новой части взять отношение о рассмотрении на должность. Контракт Ваш действует в всех частях и организациях МО РФ. Далее в старой части пишете рапорт на новую должность и прилагаете отношение. Если аттестационная комиссия старой части одобрит Ваш перевод то документы отправляются в вышестоящий штаб. Далее на основании приказа о переводе Вы сдаёте дела и должность, получаете предписание и осведомленность о допуске к гостайне и убываете для дальнейшей службы в новую часть. Таков порядок и контракт новый заключать не надо т.к. он заключается после завершения предыдущего. В сегодняшней реалии Ваш контракт пролонгирован на основании Указа ПРФ 646 пункта 4 от 2022 года.