Да, если обидчика привлекут к административной ответственности, можете требовать возмещения вам морального вреда. Если оскорбление не было публичным, больших сумм не будет.

Если вас оскорбили в судебном заседании то конечно можно. Место тут не имеет значения.

Моральный вред взыскивается в порядке гражданского судопроизводства. Вам надо определить моральный ущерб, ваши нравственные и физические страдания, желательно если есть какие-либо документальные подтверждения (лекарства, обращения к врачу и т.д.), оценить и предъявить иск.