У него нет оснований там жить (т.е. с Вами в данной ситуации), он может проживать по месту регистрации детей, в другом месте - если собственник его зарегистрирует.

Постановление Правительства РФ от 17.07.1995 N 713 (ред. от 06.06.2023) "Об утверждении Правил регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и...

Елена, тут вопрос в праве собственности на квартиру, у кого оно, какое мнение собственника, или если квартира муниципальная, то какое мнение всех прописанных.

Если квартира в собственности, то на проживание мужа нужно согласие собственника. Если квартира в соцнайме, то нужно согласие всех зарегистрированных

Вы не обязаны проживать вместе с бывшем И любовью с ним заниматься не обязаны. Он вам НИКТО. а общаться с бывшем можете где угодно и сколько угодно с последствиями или без