Здравствуйте!

Нет, не обязательно.

Обратитесь в МВД или подайте заявление на регистрацию через госуслуги.

Имейте ввиду, что несовершеннолетний должен быть зарегистрирован по месту регистрации одного из родителей.

Местом жительства несовершеннолетних, не достигших 14 лет, или граждан, находящихся под опекой, признается место жительства их законных представителей - родителей, усыновителей или опекунов (п. 2 ст. 20 ГК РФ).

Это означает, что зарегистрировать ребенка до 14 лет можно только по месту регистрации его законных представителей или одного из них.

Отказ неправомерен. Решайте вопрос через Госуслуги или в местном подразделении миграции МВД РФ.

Нет, не обязательно. Вы можете одновременно подать на регистрацию и снятии с прежнего места регистрации.