Мой сын не живёт со мной уже 6 лет, хотя прописан у меня. Должна ли я оплачивать его долги?

никто не может заставить вас платить по долгам своего сына. Если он брал в долг, он и будет нести ответственность

Может Вам его лучше снять с регистрационного учета, признать утратившим право, тогда к вам не будут поступать уведомления , суды по его долгам. Или доказывать каждый раз, что вещи куплены вами, что он не живет, предоставлять свидетелей, указывать его адрес, что он живет в другом месте. Желаю успеха.