Могу ли я по доверенности подать заявление на перевод из служебной площади в соцнайм? Мама проживает в другом городе.

Можете, если данное право будет прописано в доверенности. Сделайте нотариальную доверенность со всеми правами оформления, подача заявлений, запрос документов, подписание договоров от имени доверителя и т.д.